A partire dagli anni ’70 il modello di Black e Scholes (e Merton) è stato ampiamente utilizzato in finanza quantitativa per la valutazione dei derivati azionari (ovvero su indici azionari). Tuttavia, numerose analisi empiriche mostrano che tale modello non sempre riesce a catturare i fenomeni osservati sui mercati finanziari. In particolare, gli eventi estremi si presentano con maggior frequenza rispetto a quella prevista ipotizzando una distribuzione normale dei rendimenti e la volatilità non è costante nel tempo (entrambe ipotesi alla base del modello di Black e Scholes).
Inoltre, la volatilità implicita (desunta dalle opzioni plain-vanilla) dipende sia dalla scadenza dell’opzione che dal suo prezzo di esercizio (strike): opzioni con strike diversi presentano livelli di volatilità diversi e, come noto, il grafico della volatilità al variare dello strike è molto simile ad un “sorriso” (il cosiddetto “ volatility smile ”).
Negli ultimi venti anni numerosi sono stati gli studi empirici in finanza che hanno suggerito possibili metodologie alternative a quella proposta da Black e Scholes. Molte di esse hanno cercato di dare una spiegazione all’esistenza dello smile, considerando gli eventi estremi come caratteristiche intrinseche del modello e ipotizzando una volatilità che varia nel tempo.
Nel lavoro vengono esaminate alcune di queste metodologie. In particolare, sono stati analizzati e brevemente descritti otto modelli a tempo continuo e quattro a tempo discreto. I modelli sono stati calibrati considerando sia i livelli, a partire dal 2000, sia la volatilità implicita, nel periodo dal 2007 al 2012, del principale indice azionario italiano (FTSE MIB).
Il lavoro conferma in larga parte la validità dei modelli di pricing che ipotizzano una volatilità che varia nel tempo e una probabilità del verificarsi degli eventi estremi maggiore rispetto a quella che si otterrebbe utilizzando una distribuzione normale dei rendimenti.
