Il lavoro estende la gamma di applicazione dei modelli ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), che in econometria finanziaria sono stati ampiamente utilizzati negli ultimi venti anni col fine principale di stimare la variabilità condizionale di titoli azionari, indici di borsa e tassi di cambio; queste variabili non sarebbero altrimenti osservabili.
Nella sezione teorica del lavoro mostra che, sebbene formulato in tempo discreto, un modello ARCH non lineare possiede le caratteristiche per approssimare equazioni differenziali stocastiche del tipo usualmente impiegato in finanza. Per questo motivo tali modelli possono rappresentare un valido metodo per la stima di queste equazioni differenziali, anche in alternativa a metodologie, anch’esse sviluppate di recente, che risultano però estremamente più complesse, o dal punto di vista del calcolo (metodo dei momenti efficienti) o da quello della teoria econometrica che ne è alla base (stima non parametrica dei processi di diffusione).
Una dettagliata sezione empirica del lavoro mostra come applicare la proprietà di approssimazione fornita dai modelli ARCH per ricavare la distribuzione oggettiva e quella cosiddetta risk-neutral del prezzo di una attività finanziaria (quest’ultima ricavabile impiegando il prezzo di strumenti derivati riguardanti l’attività finanziaria in questione) e, mediante queste due funzioni, stimare il saggio marginale di sostituzione e l’avversione al rischio degli agenti economici.
La stima della dinamica che in tempo continuo determina l’evoluzione del prezzo del BTP futures, ovvero la stima dell’equazione differenziale stocastica per i prezzi di tale attività, si basa su un modello ARCH stimato su dati giornalieri. Sulla base di questa equazione viene ricavata, per simulazione, la distribuzione di probabilità storica (oggettiva) e quella cosiddetta risk-neutral del prezzo del BTP. La prima è ottenuta in due passi successivi: dapprima viene stimato uno schema ARCH per le variazioni logaritmiche dei prezzi del BTP futures; sulla base dei parametri così ottenuti vengono poi calcolati i corrispondenti valori per la specificazione in tempo continuo del modello, passaggio quest’ultimo che è reso possibile dall’esistenza di precise relazioni analitiche tra i due insiemi di parametri; viene quindi simulato il modello specificato in tempo continuo, ricavando la distribuzione di probabilità del prezzo. La distribuzione risk-neutral per i prezzi del BTP futures è invece ricavata dopo aver reinterpretato il modello precedente in termini di misura di probabilità risk-neutral, cioè dopo avere associato all’equazione differenziale stimata in precedenza una forma funzionale per il premio per il rischio di volatilità. I parametri di quest’ultima equazione sono stimati con metodi di simulazione, richiedendo che il modello proposto valuti, nel miglior modo possibile, una cross-section di opzioni riguardanti il contratto futures sul BTP. L’esercizio condotto con riferimento a tre singole date di contrattazione, comprese tra luglio 1996 e gennaio 1997, mostra che la specificazione stimata per il premio per il rischio di volatilità è estremamente stabile, caratteristica che garantisce, dal punto di vista della teoria finanziaria, la validità del modello stimato.
Ulteriori indicazioni su questa componente sono ottenute stimando il modello per un panel di circa 30.000 opzioni, sempre riferite al BTP futures, trattate alla borsa Liffe di Londra per 284 giornate lavorative, comprese tra il 18.12.1995 e il 31.1.1997. Gli scostamenti quadratici medi tra i prezzi delle opzioni previsti dal modello e quelli osservati sul mercato sono stati pari al 4,5 per cento per un sottocampione di 7.621 opzioni caratterizzate da valori della moneyness (il rapporto tra prezzo del futures e il prezzo di esercizio dell’opzione) compresi tra 0,97 e 1,03 e all’8,5 per cento per le 15.045 opzioni con moneyness compresa tra 0,93 e 1,07. In un recente lavoro che impiega un differente modello di valutazione e una diversa tecnica di stima dello schema formulato in tempo continuo, l’errore quadratico medio era pari al 6,0 per cento nel primo caso e al 4,0 nel secondo.
Le due distribuzioni stimate, quella oggettiva e quella risk-neutral, sono di particolare interesse nell’esplicitazione della propensione al rischio degli agenti economici e nell’attuazione di strategie di immunizzazione dal rischio finanziario. Il rapporto tra le due distribuzioni riportate nella figura 2 è una variabile che risulta proporzionale al saggio marginale di sostituzione di un agente rappresentativo, mentre la differenza dei rapporti tra la derivata prima delle distribuzioni e le distribuzioni stesse rappresenta il coefficiente di avversione assoluta al rischio.
Tali indicatori consentono di osservare l’insorgere di comportamenti non neutrali nei confronti del rischio, in relazione al mutare delle possibilità di realizzazione di particolari condizioni, cioè di particolari valori del prezzo del titolo a una data futura prefissata
Pubblicato nel 2001 in: Journal of Empirical Finance, v. 8, 1, pp. 83-110
